Fornire gli strumenti concettuali e metodologici per reperire l'informazione trasmessa dal linguaggio formalizzato e deduttivo proprio della matematica. Fornire i fondamenti dell'analisi matematica e della geometria piana orientati verso la comprensione dei modelli fisico-matematici. Argomenti del corso sono: il calcolo differenziale in una variabile ed i primi cenni del calcolo integrale; i relativi concetti, strumenti e istanze modellistiche; l'algebra lineare analizzata da un punto di vista geometrico.
Canali
scheda docente
materiale didattico
Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio; i piani coordinati. Punti e vettori. Distanza: definizione formale. Valore assoluto. Densità di Q in R. Distanza nel piano e nello spazio. Equazione della circonferenza e della sfera.
Algebra lineare (in 2 e 3 dimensioni): pendenza di un segmento, somma di vettori, prodotto scalare e prodotto vettoriale. Equivalenza della formulazione geometrica ed in coordinate. Condizioni di parallelismo e ortogonalità.
Introduzione alle funzioni. Grafico di una funzione nei tre piani coordinati. Operazioni con i grafici.
Insiemi aperti e chiusi, punti di accumulazione, definizioni ed esempi. Definizione di limite. Operazioni con i limiti, limiti di quozienti di polinomi. Asintoti. Teorema del confronto. Limiti notevoli.
Funzioni continue (continuità in un punto e in un intervallo). Teoremi sulle funzioni continue: esistenza del massimo e del minimo, valori intermedi. Funzioni esponenziale e logaritmo.
Derivate: definizione, significato geometrico. Operazioni con le derivate: somma, prodotto, quoziente, moltiplicazione per una costante. Tecniche di derivazione, derivate delle principali funzioni. Equazione della retta tangente in un punto al grafico. Derivata di una funzione composta e delle funzioni inverse. Punti stazionari.
Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e Lagrange. Monotonia e segno della derivata prima. Approssimazione lineare.
Derivate seconde, concavità, flessi. Studio completo di funzione. Teoremi di Cauchy e De l’Hopital. Problemi modellistici e di ottimizzazione. Polinomio di Taylor. Formula del resto di Lagrange nel caso n=2.
Introduzione agli integrali: integrali indefiniti e definiti. Il problema del calcolo dell'area di una regione piana. Il teorema della media integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e sostituzione.
Introduzione all’utilizzo di software matematici per graficare le funzioni.
James Stewart, Calcolo. Funzioni di una variabile, Apogeo Education - Maggioli Editore.
Robert A. Adams Calcolo Differenziale I ed. CEA (Casa Editrice Ambrosiana)
Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi Matematica 1. Con elementi di geometria e algebra lineare”, Zanichelli
Bibliografia
James Stewart, Calcolo. Funzioni di una variabile, Apogeo Education - Maggioli Editore.
Robert A. Adams Calcolo Differenziale I ed. CEA (Casa Editrice Ambrosiana)
Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi Matematica 1. Con elementi di geometria e algebra lineare”, Zanichelli
Courant, Robbins "Che Cos' è La Matematica?" Ed. Boringhieri
Programma
Quantificatori. I numeri: naturali, interi, razionali, reali. Assiomi dei numeri reali. Irrazionalità di radice di 2.Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio; i piani coordinati. Punti e vettori. Distanza: definizione formale. Valore assoluto. Densità di Q in R. Distanza nel piano e nello spazio. Equazione della circonferenza e della sfera.
Algebra lineare (in 2 e 3 dimensioni): pendenza di un segmento, somma di vettori, prodotto scalare e prodotto vettoriale. Equivalenza della formulazione geometrica ed in coordinate. Condizioni di parallelismo e ortogonalità.
Introduzione alle funzioni. Grafico di una funzione nei tre piani coordinati. Operazioni con i grafici.
Insiemi aperti e chiusi, punti di accumulazione, definizioni ed esempi. Definizione di limite. Operazioni con i limiti, limiti di quozienti di polinomi. Asintoti. Teorema del confronto. Limiti notevoli.
Funzioni continue (continuità in un punto e in un intervallo). Teoremi sulle funzioni continue: esistenza del massimo e del minimo, valori intermedi. Funzioni esponenziale e logaritmo.
Derivate: definizione, significato geometrico. Operazioni con le derivate: somma, prodotto, quoziente, moltiplicazione per una costante. Tecniche di derivazione, derivate delle principali funzioni. Equazione della retta tangente in un punto al grafico. Derivata di una funzione composta e delle funzioni inverse. Punti stazionari.
Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e Lagrange. Monotonia e segno della derivata prima. Approssimazione lineare.
Derivate seconde, concavità, flessi. Studio completo di funzione. Teoremi di Cauchy e De l’Hopital. Problemi modellistici e di ottimizzazione. Polinomio di Taylor. Formula del resto di Lagrange nel caso n=2.
Introduzione agli integrali: integrali indefiniti e definiti. Il problema del calcolo dell'area di una regione piana. Il teorema della media integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e sostituzione.
Introduzione all’utilizzo di software matematici per graficare le funzioni.
Testi Adottati
TestiJames Stewart, Calcolo. Funzioni di una variabile, Apogeo Education - Maggioli Editore.
Robert A. Adams Calcolo Differenziale I ed. CEA (Casa Editrice Ambrosiana)
Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi Matematica 1. Con elementi di geometria e algebra lineare”, Zanichelli
Bibliografia
James Stewart, Calcolo. Funzioni di una variabile, Apogeo Education - Maggioli Editore.
Robert A. Adams Calcolo Differenziale I ed. CEA (Casa Editrice Ambrosiana)
Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi Matematica 1. Con elementi di geometria e algebra lineare”, Zanichelli
Courant, Robbins "Che Cos' è La Matematica?" Ed. Boringhieri
Bibliografia Di Riferimento
Testi James Stewart, Calcolo. Funzioni di una variabile, Apogeo Education - Maggioli Editore. Robert A. Adams Calcolo Differenziale I ed. CEA (Casa Editrice Ambrosiana) Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi Matematica 1. Con elementi di geometria e algebra lineare”, Zanichelli Bibliografia James Stewart, Calcolo. Funzioni di una variabile, Apogeo Education - Maggioli Editore. Robert A. Adams Calcolo Differenziale I ed. CEA (Casa Editrice Ambrosiana) Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi Matematica 1. Con elementi di geometria e algebra lineare”, Zanichelli Courant, Robbins "Che Cos' è La Matematica?" Ed. BoringhieriModalità Erogazione
Svolgimento: Tradizionale Il corso si compone di lezioni frontali ed esercitazioni. Durante le lezioni frontali gli argomenti del programma vengono esposti agli studenti con esempi, per poi passare ai casi generali e alle definizioni, teoremi e dimostrazioni. Gli argomenti vengono presentati sempre dal punto di vista geometrico, da quello analitico e se ne fornisce una descrizione modellistica. Nelle ore dedicate alle esercitazioni il docente propone alcuni esercizi e problemi, gli studenti hanno del tempo per risolverli da soli, o in gruppo, poi si passa ad una discussione in aula, e infine, se necessario, il docente espone la soluzione per esteso alla lavagna. Alcune delle ore di esercitazione vengono dedicate ad attività hands-on che prevedono l'utilizzo della carta e di altri materiali o l'uso del computer per la visualizzazione.Modalità Frequenza
Gli studenti devono aver seguito almeno il 75% delle lezioni per essere ammessi all'esame.Modalità Valutazione
La valutazione prevede una prova scritta ed una prova orale. Sono previste prove in itinere. La prova scritta (1,5-2 ore) consiste di 5 o 6 quesiti, la cui risoluzione è finalizzata a verificare il livello di comprensione effettiva dei concetti e la capacità degli studenti di applicarli in autonomia. Alcune prove di esame degli anni passati sono disponibili sulla pagina web http://www.formulas.it/sito/corsi/istituzioni-di-matematiche-i/