20810098-1 - GEOMETRIA E COMBINATORIA I MODULO

Fornire la conoscenza di argomenti di algebra lineare, geometria e matematica discreta utili non solo per studi più approfonditi di matematica, ma anche per le applicazioni in altre discipline. I vari argomenti saranno affrontati con un approccio di tipo concreto, passando dalla trattazione di problemi particolari al caso generale e sollecitando la partecipazione attiva degli studenti per far loro acquisire più facilmente i concetti.

Curriculum

Canali

scheda docente | materiale didattico

Programma

Elementi di teoria degli insiemi. Applicazioni fra insiemi: applicazioni invettive, suriettive, biiettive.
Cenni di logica proposizionale, tavole di verità. Relazioni d'equivalenza e d'ordine.
Elementi di calcolo combinatorio. Coefficienti binomiali e teorema binomiale. Permutazioni. 
I numeri interi: divisibilità, MCD e algoritmo di Euclide, identità di Bézout, congruenze lineari.
Cenni sulle strutture algebriche: gruppi di permutazioni, gruppi astratti, polinomi e campi finiti.
Elementi di teoria dei grafi.Reticoli e algebre di Boole.

Testi Adottati

Giulia Maria Piacentini Cattaneo
Matematica discreta e applicazioni
Zanichelli 2008

Bibliografia Di Riferimento

nessuno

Modalità Erogazione

lezioni frontali

Modalità Frequenza

frequenza consigliata

Modalità Valutazione

prova scritta

scheda docente | materiale didattico

Programma

Richiami di teoria degli insiemi. Unione, intersezione, prodotto cartesiano,
differenza, complementare. Insieme delle parti di un insieme finito, e sua
cardinalità.

Elementi di logica: calcolo proposizionale. Operazioni di negazione,
congiunzione, disgiunzione, XOR, implicazione logica, doppia implicazione.
Tavole di verità. Equivalenza logica. Tautologie e contraddizioni. Cenni
sui predicati. Quantificatore universale e esistenziale.

Applicazioni fra insiemi. Dominio, codominio, immagine, controimmagine.
Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive. Applicazione inversa.
Prodotto operatorio fra applicazioni. Identità. L’insieme delle applicazioni
fra due insiemi finiti e la sua cardinalità. Permutazioni.

Relazioni. Proprietà riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva:
relazione di ordine e di equivalenza. Esempi di relazioni. Insiemi parzialmente
ordinati. Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza, insieme
quoziente.

Numeri interi: divisibilità e sue proprietà. Divisione con il resto. Massimo
comune divisore. Algoritmo di Euclide. Identità di B ́ezout, algoritmo
di Euclide esteso. Equazioni diofantine. Applicazione dell’algoritmo di
Euclide alle ricerca di soluzioni intere per l’equazione ax + by = c. Numeri
primi. Teorema fondamentale dell’aritmetica e teorema di Euclide.

Congruenza modulo n. L’insieme Z/nZ delle classi resto modulo n. Somma e
moltiplicazione in Z/nZ. Congruenze lineari. Condizione per la risolubilità.
Descrizione delle soluzioni delle congruenze lineari. Sistemi di congruenze
e teorema cinese dei resti. Elementi invertibili in Z/nZ. Funzione φ di Eulero.
Piccolo teorema di Fermat, teorema di Eulero-Fermat.

Combinatoria: disposizioni e combinazioni senza ripetizioni, coefficienti
binomiali. Proprietà dei coefficienti binomiali, Sviluppo del binomio.
Disposizioni e combinazioni con ripetizioni, triangolo di Tartaglia.

Insiemi parzialmente ordinati, diagrammi di Hasse. Massimo e minimo,
elementi massimali e minimali, maggioranti e minoranti, sup e inf.
Reticoli. Proprietà di inf e sup in un reticolo. Reticoli algebrici. Reticoli
limitati, complementati, distributivi. Algebre di Boole.


Testi Adottati


Piacentini Cattaneo, Matematica discreta. Zanichelli.
Delizia-Longobardi-Maj-Nicotera, Matematica Discreta, McGraw Hill.
Procesi-Rota, Elementi di algebra e matematica discreta. Accademica.

Modalità Valutazione

scritto di due ore con esercizi teorici e pratici

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scheda docente | materiale didattico

Programma

Elementi di teoria degli insiemi. Applicazioni fra insiemi: applicazioni invettive, suriettive, biiettive.
Cenni di logica proposizionale, tavole di verità. Relazioni d'equivalenza e d'ordine.
Elementi di calcolo combinatorio. Coefficienti binomiali e teorema binomiale. Permutazioni. 
I numeri interi: divisibilità, MCD e algoritmo di Euclide, identità di Bézout, congruenze lineari.
Cenni sulle strutture algebriche: gruppi di permutazioni, gruppi astratti, polinomi e campi finiti.
Elementi di teoria dei grafi.Reticoli e algebre di Boole.

Testi Adottati

Giulia Maria Piacentini Cattaneo
Matematica discreta e applicazioni
Zanichelli 2008

Bibliografia Di Riferimento

nessuno

Modalità Erogazione

lezioni frontali

Modalità Frequenza

frequenza consigliata

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prova scritta

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Programma

Richiami di teoria degli insiemi. Unione, intersezione, prodotto cartesiano,
differenza, complementare. Insieme delle parti di un insieme finito, e sua
cardinalità.

Elementi di logica: calcolo proposizionale. Operazioni di negazione,
congiunzione, disgiunzione, XOR, implicazione logica, doppia implicazione.
Tavole di verità. Equivalenza logica. Tautologie e contraddizioni. Cenni
sui predicati. Quantificatore universale e esistenziale.

Applicazioni fra insiemi. Dominio, codominio, immagine, controimmagine.
Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive. Applicazione inversa.
Prodotto operatorio fra applicazioni. Identità. L’insieme delle applicazioni
fra due insiemi finiti e la sua cardinalità. Permutazioni.

Relazioni. Proprietà riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva:
relazione di ordine e di equivalenza. Esempi di relazioni. Insiemi parzialmente
ordinati. Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza, insieme
quoziente.

Numeri interi: divisibilità e sue proprietà. Divisione con il resto. Massimo
comune divisore. Algoritmo di Euclide. Identità di B ́ezout, algoritmo
di Euclide esteso. Equazioni diofantine. Applicazione dell’algoritmo di
Euclide alle ricerca di soluzioni intere per l’equazione ax + by = c. Numeri
primi. Teorema fondamentale dell’aritmetica e teorema di Euclide.

Congruenza modulo n. L’insieme Z/nZ delle classi resto modulo n. Somma e
moltiplicazione in Z/nZ. Congruenze lineari. Condizione per la risolubilità.
Descrizione delle soluzioni delle congruenze lineari. Sistemi di congruenze
e teorema cinese dei resti. Elementi invertibili in Z/nZ. Funzione φ di Eulero.
Piccolo teorema di Fermat, teorema di Eulero-Fermat.

Combinatoria: disposizioni e combinazioni senza ripetizioni, coefficienti
binomiali. Proprietà dei coefficienti binomiali, Sviluppo del binomio.
Disposizioni e combinazioni con ripetizioni, triangolo di Tartaglia.

Insiemi parzialmente ordinati, diagrammi di Hasse. Massimo e minimo,
elementi massimali e minimali, maggioranti e minoranti, sup e inf.
Reticoli. Proprietà di inf e sup in un reticolo. Reticoli algebrici. Reticoli
limitati, complementati, distributivi. Algebre di Boole.


Testi Adottati


Piacentini Cattaneo, Matematica discreta. Zanichelli.
Delizia-Longobardi-Maj-Nicotera, Matematica Discreta, McGraw Hill.
Procesi-Rota, Elementi di algebra e matematica discreta. Accademica.

Modalità Valutazione

scritto di due ore con esercizi teorici e pratici